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La magica bellezza della geometria frattale

Geometria frattale e pensiero – Foto S. Keller

La geometria frattale. Definire la geometria frattale non è semplice e allora trascriviamo letteralmente la definizione che troviamo sulla più famosa enciclopedia italiana, la Treccani, a cui spesso ci affidiamo. “Un frattale è una figura geometrica che si ripete all’infinito uguale a sé stessa, su scala sempre più piccola. Ciò significa che una parte qualsiasi del frattale riproduce, in piccolo, la figura nella sua totalità e in tutti i suoi dettagli”. Ne parla lo scienziato Paolo Musso.

Gennaio a Courmayeur e la tesi di laurea

All’inizio di gennaio del 1989 mi trovavo a Courmayeur per una settimana di studio interdisciplinare intitolata 1905 e dintorni. Problemi e prospettive del XX secolo e organizzata dall’ISTRA (Istituto Studi per la Transizione), un’associazione culturale oggi purtroppo scomparsa, ma che a suo tempo aveva fatto cose davvero notevoli.

Le giornate erano così intense che l’unico modo di andare un po’ a sciare (una delle mie grandi passioni) era nella pausa pranzo, ovviamente saltando il medesimo. Fu così che un giorno, appunto all’ora di pranzo, mi ritrovai sulla stessa seggiovia con Evandro Agazzi, di cui stavo già seguendo il corso di Filosofia della Scienza all’Università di Genova. Fu proprio su quella seggiovia che gli chiesi di poter fare con lui la mia tesi di laurea.

L’argomento della tesi

Ricordo che durante il breve tragitto aveva già individuato il possibile argomento, poi mi disse di rivederci di lì a qualche mese, alla fine dei corsi. Arrivato in cima, si lanciò per il pendio con uno stile esteticamente non impeccabile ma efficace, mentre io mi riunivo ai miei amici più giovani.

Ci saremmo rivisti a giugno nel suo studio, all’appuntamento che mi aveva fissato cinque mesi prima e a cui si presentò, come suo consueto, senza un solo minuto di ritardo.

Il realismo scientifico

Da lì prese il via il mio lavoro in difesa del realismo scientifico di cui ho parlato nel precedente articolo.

Soprattutto cominciò un rapporto, che dura ancor oggi e di cui mi onoro, con quello che è poi diventato il mio maestro ed è senza alcun dubbio uno dei più grandi pensatori del nostro tempo, anche se purtroppo non dei più conosciuti, dato che il dominio della cultura positivista, di cui ho parlato la volta scorsa, ha penalizzato molto anche lui (per chi volesse conoscerlo, consiglio il recentissimo L’oggettività scientifica e i suoi contesti, Bompiani 2018, vera “summa” globale del suo pensiero).

A sciare c’era anche il fisico Tito Fortunato Arecchi

Quello tuttavia non fu l’unico evento memorabile che il Destino aveva in serbo per me in quei giorni. A Courmayeur era infatti presente anche Tito Fortunato Arecchi, uno dei più insigni fisici italiani.

Anche lui sostanzialmente ignoto al grande pubblico, sempre per le stesse ragioni, dato che l’argomento a cui ha dedicato la maggior parte della sua attività di ricerca e di cui ci parlò in quella occasione, il cosiddetto caos deterministico, rappresenta una radicale confutazione del positivismo.

Il fenomeno del caos era stato scoperto dal grande fisico francese Henri Poincaré già alla fine dell’Ottocento, ma ben presto venne dimenticato, a causa delle grandi rivoluzioni della relatività e della meccanica quantistica, che monopolizzarono per decenni l’attenzione degli scienziati, ma anche per l’impossibilità di studiarlo facendo i conti a mano, finché venne riscoperto all’inizio degli anni Sessanta, grazie alla nascita dei primi computer, da Edward Lorenz, un meteorologo del MIT di Boston.

Il caos deterministico

Il caos non è il disordine, bensì una particolare forma di ordine complesso, che tuttavia, pur essendo in sé deterministico, come dice appunto il nome, non è completamente prevedibile sul lungo periodo (anche se il concetto di “lungo” è molto variabile a seconda del fenomeno considerato: per esempio, il limite di affidabilità è di una settimana nel caso delle previsioni del tempo, mentre è di 700 milioni di anni nel caso delle orbite dei pianeti del Sistema Solare).

In ogni caso, ciò pone un limite di principio alla nostra capacità di fare previsioni, ma anche di ridurre un sistema complesso alla pura somma delle sue parti, dato che la loro interazione produce qualcosa che non si può prevedere studiandole isolatamente una per una.

Un colpo di fulmine

Fu quel che si dice un autentico colpo di fulmine. Non saprei dire se mi affascinarono di più le sue implicazioni filosofiche o la sua bellezza quasi magica, ma quel che è certo è che ne rimasi letteralmente abbagliato.

Per la tesi di laurea non c’era tempo sufficiente per sviluppare adeguatamente l’argomento e poi con Agazzi avevamo già deciso che sarebbe stata dedicata al tema del realismo scientifico (comunque mi riuscì di infilare anche lì alcune considerazioni che servivano a confutare le tesi dei positivisti), ma fin da allora decisi che se fossi riuscito a intraprendere la carriera accademica, sicuramente quello del caos sarebbe stato il mio principale argomento di studio.

E infatti gli dedicai l’intera mia tesi di Dottorato, poi pubblicata col titolo di Filosofia del caos (Franco Angeli 1997), proprio sotto la guida di Arecchi, che col tempo divenne anche lui un altro dei miei maestri, nonché dei miei più cari amici.

Il destino e la strada privilegiata

Ho parlato al riguardo di Destino e non l’ho fatto alla leggera. Io credo infatti che esista per ciascuno di noi una strada privilegiata che siamo chiamati a percorrere, anche se, diversamente dal Fato greco, ciò non accade senza la nostra libertà: potremmo per questo parlare di “vocazione”, cioè di risposta ad una “chiamata”.

E anche se personalmente lo intendo nel senso stretto del termine, il concetto può essere accettabile anche per chi non crede nel Dio cristiano o comunque in un Dio personale, dato che il modo in cui veniamo per l’appunto “chiamati” non è (almeno normalmente) una qualche sorta di esperienza mistica, ma piuttosto una serie di segni che ci si presentano dentro le circostanze ordinarie della vita e che noi dobbiamo stare attenti a cogliere, dato che in genere non sono particolarmente clamorosi. Tuttavia, una volta che li abbiamo notati, ci parlano con una voce inconfondibile, perché ci accorgiamo che rappresentano la risposta a qualche domanda che avevamo da sempre nel profondo del nostro essere, benché spesso senza esserne pienamente consapevoli.

Altri segni discreti

Un altro di questi “segni discreti” fu la pubblicazione, in quegli stessi mesi, della traduzione italiana di Caos di James Gleick. Probabilmente il più bel libro di divulgazione scientifica mai scritto, uscito negli USA due anni prima, che raccontava le origini e la storia del caos deterministico e la sua convergenza con la geometria frattale, scoperta nel 1975 da Benoît Mandelbrot, che ne ha fornito la teoria generale, dando così origine alla scienza della complessità (o, in termini più tecnici, dei sistemi non lineari).

Lo trovai per caso nella libreria di mio padre, glielo rubai e me lo lessi tutto d’un fiato durante un’altra settimana bianca con alcuni amici, circostanza che si rivelò anch’essa molto significativa, perché quando, tornati a casa, mi sdraiavo sul mio letto a leggere il libro, ci ritrovavo dentro in forma di equazioni matematiche e simulazioni al computer gli stessi meravigliosi oggetti che mi avevano incantato durante la giornata: nuvole, alberi, montagne, ghiacciai, fiocchi di neve, perfino le serpentine che avevamo appena tracciato sulle piste.

I sistemi non lineari

I sistemi non lineari, infatti, sono in grado di produrre, a partire da dinamiche molto semplici, una varietà potenzialmente infinita di forme di straordinaria complessità (e spesso anche di straordinaria bellezza) che assomigliano moltissimo a oggetti naturali, specialmente agli esseri viventi.

Potremmo dire, in modo un po’ semplificato ma sostanzialmente corretto, che la geometria classica, sia euclidea che non euclidea, descrive la natura nei suoi livelli più estremi, microscopico e macroscopico, cioè i regni dell’infinitamente piccolo e dell’infinitamente grande (particelle elementari, atomi, spazio, tempo, luce, stelle, pianeti, buchi neri), dove regna un ordine assoluto, che ha anch’esso una sua algida bellezza, come ben sanno i fisici, ma ci risulta in qualche modo “alieno”;

mentre la geometria frattale descrive i sistemi che si generano al livello intermedio, detto per questo “mesoscopico”, che è quello della nostra esperienza quotidiana e rappresenta il regno dell’infinitamente complesso.

Il problema è l’applicazione pratica

Il vero problema è l’applicazione pratica, perché, diversamente dalla scienza lineare classica, in cui, dato un certo fenomeno, è relativamente facile trovare la formula che lo descrive, nella scienza non lineare questo è difficilissimo, a causa dell’estrema complessità dei suoi oggetti.

Ciononostante, diverse corrispondenze sono già state trovate, la più clamorosa delle quali resta la previsione fatta da Stuart Kauffman, in base a una simulazione computerizzata, che il DNA umano ha solo 30.000 geni quando tutti erano ancora convinti che ne avesse almeno 100.000 (chi è interessato può leggere il racconto della vicenda in un’intervista che gli ho fatto nel 2009 per la rivista Emmeciquadro.

Le somiglianze tra gli oggetti frattale e quelli naturali

Un’altra figura di geometria frattale – P. Linforth

Gli scienziati sono ormai convinti che le somiglianze tra gli oggetti frattali e quelli naturali non sono casuali e che col tempo si arriverà a dimostrare che la geometria frattale è davvero la geometria della natura alla scala umana, sia vivente che inanimata.

Ma non è tutto: essa ha dimostrato di essere anche la descrizione più adeguata di molti fenomeni sociali, in particolare dell’economia. E qui casca l’asino, perché purtroppo la nostra attuale scienza economica (o forse, visti i risultati, dovrei dire pseudoscienza) è tutta basata su modelli disperatamente lineari, in particolare per quanto riguarda la finanza, le cui basi sono state poste circa un secolo fa da tale Louis Bachelier, allievo, per uno strano scherzo della vita, proprio di Poincaré, che, come si è detto, pose invece le basi della rivoluzione non lineare.

I modelli della finanza e i conseguenti problemi

Non c’è quindi da stupirsi che la finanza ci stia causando tanti problemi, dato che i suoi modelli nel migliore dei casi rappresentano una grossolana semplificazione della realtà e nei peggiori sono semplicemente (e soprattutto irrimediabilmente) sbagliati.

Mandelbrot l’aveva dimostrato già da parecchio tempo e nel 2004 ha pubblicato un libro, Il disordine dei mercati, che consiglio caldamente a tutti, dato che vi sono sintetizzate, in un linguaggio comprensibile anche ai non esperti, le sue principali scoperte in campo economico. Tra esse c’era anche la previsione di ciò che avrebbe scatenato la grande recessione del 2007, in cui di fatto siamo tuttora immersi, cioè il fatto che le banche non avevano sufficienti riserve di liquidità per far fronte a crisi superiori a una certa entità, che i loro modelli giudicavano impossibili, ma che apparivano invece perfettamente possibili se ci si basava su modelli più realistici di tipo non lineare. Ma di ciò parleremo la prossima volta.